• 茆詩松《概率論與數理統計教程》(第2版)筆記和課后習題(含考研真題)詳解

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    摘要 : 目錄封面內容簡介目錄第1章 隨機事件與概率 1.1 復習筆記 1.2 課后習題詳解 1.3 考研真題詳解第2章 隨機變量及其分布 2.1 復習筆記 2.2 課后習題詳解 2.3 考研真題詳解第3章 多維隨機變量及其分布 3.1 復習筆記 3.2 課后習題詳解 3.3 考研真題詳解第4章 大數定律與中...
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    內容簡介
    目錄
    第1章 隨機事件與概率
     1.1 復習筆記
     1.2 課后習題詳解
     1.3 考研真題詳解
    第2章 隨機變量及其分布
     2.1 復習筆記
     2.2 課后習題詳解
     2.3 考研真題詳解
    第3章 多維隨機變量及其分布
     3.1 復習筆記
     3.2 課后習題詳解
     3.3 考研真題詳解
    第4章 大數定律與中心極限定理
     4.1 復習筆記
     4.2 課后習題詳解
     4.3 考研真題詳解
    第5章 統計量及其分布
     5.1 復習筆記
     5.2 課后習題詳解
     5.3 考研真題詳解
    第6章 參數估計
     6.1 復習筆記
     6.2 課后習題詳解
     6.3 考研真題詳解
    第7章 假設檢驗
     7.1 復習筆記
     7.2 課后習題詳解
     7.3 考研真題詳解
    第8章 方差分析與回歸分析
     8.1 復習筆記
     8.2 課后習題詳解
     8.3 考研真題詳解
    內容簡介 本書是茆詩松主編的《概率論與數理統計教程》(第2版)的配套電子書,主要包括以下內容:
    (1)整理教材筆記,濃縮內容精華。本書每章的復習筆記均對該章的知識點進行了整理,突出重點和考點。
    (2)解析課后習題,提供詳盡答案。本書參考相關輔導資料,對教材的習題進行了詳細的分析和解答。
    (3)精選考研真題,鞏固重難點知識。本書精選考研數學真題,并提供詳細的解答。
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    第1章 隨機事件與概率
    1.1 復習筆記
    一、隨機事件及其運算
    1隨機現象
    在一定的條件下,并不總是出現相同結果的現象稱為隨機現象,如拋一枚硬幣與擲一顆骰子.隨機現象有兩個特點:
    (1)結果不止一個;
    (2)哪一個結果出現,人們事先并不知道.
    只有一個結果的現象稱為確定性現象.

    2樣本空間
    定義:隨機現象的一切可能基本結果組成的集合,記為Ω={ω},其中ω表示基本結果,又稱為樣本點.
    (1)離散樣本空間
    樣本點的個數為有限個或可列個.
    (2)連續樣本空間
    樣本點的個數為不可列無限個.
    注意:
    ①樣本空間中的元素可以是數也可以不是數;
    ②樣本空間至少有兩個樣本點,僅含兩個樣本點的樣本空間是最簡單的樣本空間;
    ③從樣本空間含有樣本點的個數來區分,樣本空間可分為有限與無限兩類.

    3隨機事件
    隨機現象的某些樣本點組成的集合稱為隨機事件,簡稱事件,常用大寫字母A,B,C,…表示.
    注意:
    (1)任一事件A是相應樣本空間的一個子集.
    (2)當子集A中某個樣本點出現了,就說事件A發生了,或者說事件A發生當且僅當A中某個樣本點出現了.
    (3)事件可以用集合表示,也可用明白無誤的語言描述.
    (4)事件分類
    ①基本事件:由樣本空間Ω中的單個元素組成的子;
    ②必然事件:樣本空間Ω的最大子集(即Ω本身);
    ③不可能事件:樣本空間Ω的最小子集(即空集∅).

    4隨機變量
    定義:表示隨機現象結果的變量,常用大寫字母X,Y,Z表示.
    注意:很多事件都用隨機變量表示時,應寫明隨機變量的含義.在同一個隨機現象中,不同的設置可獲得不同的隨機變量,如何設置可按需要進行.

    5事件間的關系
    假設在同一個樣本空間Ω(即同一個隨機現象)中進行.事件間的關系與集合間關系一樣主要有以下幾種:
    (1)包含關系
    如果屬于A的樣本點必屬于B,則稱A被包含在B中(見圖1-1-1),或稱B包含A,記為A⊂B,或B⊂A.用概率論的語言說:事件A發生必然導致事件B發生.
    對任一事件A,必有∅⊂A⊂Ω.
    說明: HWOCRTEMP_ROC1920
    圖1-1-1 A⊂B
    (2)相等關系
    如果事件A與事件B滿足:屬于A的樣本點必屬于B,而且屬于B的樣本點必屬于A,即A⊂B且B⊂A,則稱事件A與B相等,記為A=B.
    從集合論觀點看,兩個事件相等就意味著這兩事件是同一個集合.
    下例說明有時不同語言描述的事件也可能是同一件事.
    例:口袋中有a個黑球,b個白球(a與b都大于零),從中不返回地一個一個摸球,直到摸完為止.以A記事件“最后摸出的幾個球全是黑球”,以B記事件“最后摸出的一個球是黑球”.對于此題粗看好像是A≠B,但只要設想將球全部摸完為止,則明顯有:A發生必然會導致B發生,即A⊂B;反之注意到事件A中所述的“幾個”最少是1個,也可以是2個,…,最多為a個,則B發生時A也必然會發生(對于這點請讀者仔細體會),即B⊂A,由此得A=B.
    (3)互不相容
    如果A與B沒有相同的樣本點,則稱A與B互不相容.用概率論的語言說:A與B互不相容就是事件A與事件B不可能同時發生.

    6事件間的運算
    (1)事件A與B的并
    其含義為“由事件A與B中所有的樣本點(相同的只計入一次)組成的新事件”(見圖1-1-2).或用概率論的語言說“事件A與B中至少有一個發生”.記為A∪B.
    (2)事件A與B的交
    其含義為“由事件A與B中公共的樣本點組成的新事件”(見圖1-1-3).或用概率論的語言說“事件A與B同時發生”.記為A∩B,或簡記為AB.
    說明: HWOCRTEMP_ROC1950
    圖1-1-2 A與B的并
    說明: HWOCRTEMP_ROC1960
    圖1-1-3 A與B的交
    注意:事件的并與交運算可推廣到有限個或可列個事件,譬如有事件A1,A2,…,則稱為有限并,稱為可列并,稱為有限交,稱為可列交.
    (3)事件A對B的差
    記為A-B.其含義為“由在事件A中而不在B中的樣本點組成的新事件”(見圖1-1-4).或用概率論的語言說“事件A發生而B不發生”.

    圖1-1-4
    (4)對立事件
    事件A的對立事件,記為A(_),即“由在Ω中而不在A中的樣本點組成的新事件”(見圖1-1-5),或用概率論的語言說“A不發生”,即A(_)=Ω-A.
    說明: HWOCRTEMP_ROC2000
    圖1-1-5 A的對立事件A(_)
    注意:
    ①對立事件是相互的,即A的對立事件是A(_),而A(_)的對立事件是A.必然事件Ω與不可能事件∅互為對立事件,即Ω=∅,∅=Ω.
    ②A與B互為對立事件的充要條件是:A∩B=∅,且A∪B=Ω.
    ③對立事件一定是互不相容的事件,即A∩B=∅.但互不相容的事件不一定是對立事件.
    ④A-B可以記為AB(_)

    7事件的運算性質
    (1)交換律
    A∪B=B∪A,AB=BA
    (2)結合律
    (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
    (AB)C=A(BC)
    (3)分配律
    (A∪B)∩C=AC∪BC
    (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
    (4)對偶律(德摩根公式)
    事件并的對立等于對立的交:A∪B(—————)A(_)B(_)
    事件交的對立等于對立的并:A(_)B(_)A∩B(—————)
    結論:
    ①交的運算可通過并與對立來實現(德摩根公式).
    ②差的運算可通過對立與交來實現A-B=AB(_)

    8事件域
    定義:一個樣本空間中某些子集及其運算(并、交、差、對立)結果而組成的集合類,當樣本空間是實數軸上的一個區間時,這樣的子集常被稱為不可測集.
    設Ω為一樣本空間,F為Ω的某些子集所組成的集合類.如果F滿足:
    (1)Ω∈F;
    (2)若A∈F,則對立事件A(_)∈F;
    (3)若An∈F,n=1,2,…則可列并
    則稱F為一個事件域,又稱為σ域或σ代數.
    二、概率的定義及其確定方法
    概率是隨機事件發生的可能性大小.

    1概率的公理化定義
    定義:設Ω為一個樣本空間,F為Ω的某些子集組成的一個事件域.如果對任一事件A∈F,定義在F上的一個實值函數P(A)滿足:
    (1)非負性公理:若A∈F,則P(A)≥0;
    (2)正則性公理:P(Ω)=1;
    (3)可列可加性公理:若A1,A2,…,An,…互不相容,則

    則稱P(A)為事件A的概率,稱三元素(Ω,F,P)為概率空間.

    2排列與組合公式
    排列與組合都是計算“從n個元素中任取r個元素”的取法總數公式.
    區別:組合公式是不講究取出元素間的次序,否則用排列公式.而所謂講究元素間的次序,可以從實際問題中得以辨別,例如兩個人相互握手是不講次序的;而兩個人排隊是講次序的,因為“甲右乙左”與“乙右甲左”是兩件事.
    排列與組合的定義及其計算公式如下.
    (1)排列公式:Pnr=n×(n-1)×…×(n-r+1)=n!/(n-r)!
    若r=n,則稱為全排列,記為Pn,顯然,全排列Pn=n!
    (2)重復排列:從n個不同元素中每次取出一個,放回后再取下一個,如此連續取r次所得的排列,此種重復排列數共有nr個.注意:這里的r允許大于n.
    (3)組合公式:

    注:
    ①規定0!=1與
    ②組合具有性質:

    (4)重復組合:從n個不同元素中每次取出一個,放回后再取下一個,如此連續取r次所得的組合,此種重復組合總數為,這里的r也允許大于n.
    上述四種排列組合及其總數計算公式在使用中要注意識別有序與無序、重復與不重復.

    3確定概率的頻率方法
    (1)確定概率的頻率方法
    在大量重復試驗中,用頻率的穩定值去獲得概率的一種方法,其基本思想是:
    ①與考察事件A有關的隨機現象可大量重復進行.
    ②在n次重復試驗中,記n(A)為事件A出現的次數,又稱n(A)為事件A的頻數.稱∫n(A)=n(A)/n為事件A出現的頻率.
    ③實踐表明:隨著試驗重復次數n的增加,頻率∫n(A)會穩定在某一常數a附近,我們稱這個常數為頻率的穩定值.這個頻率的穩定值就是所求的概率.
    (2)確定概率的古典方法
    簡單、直觀,不需要做大量重復試驗,而是在經驗事實的基礎上,對被考察事件的可能性進行邏輯分析后得出該事件的概率.
    古典方法的基本思想如下:
    ①所涉及的隨機現象只有有限個樣本點,譬如為n個;
    ②每個樣本點發生的可能性相等(稱為等可能性);
    ③若事件A含有k個樣本點,則事件A的概率為:
    P(A)=事件所包含樣本點的個數/Ω中所有樣本點的個數=k/n
    注:在計算古典概率時,一般不用把樣本空間詳細寫出,但一定要保證樣本點為等可能.

    4確定概率的主觀方法
    統計界的貝葉斯學派認為:一個事件的概率是人們根據經驗對該事件發生的可能性所給出的個人信念.這樣給出的概率稱為主觀概率.
    另外,主觀概率的確定除根據自己的經驗外,決策者還可以利用別人的經驗.主觀給定的概率要符合公理化的定義.
    三、概率的性質
    在概率正則性中說明了必然事件Ω的概率為1,不可能事件∅的概率應該為0.

    1概率的可加性
    概率的可列可加性說明了對可列個互不相容的事件A1,A2,….其可并列的概率可以分別求之再相加,那么對有限個互不相容的事件A1,A2,…An,有如下幾個性質:
    有限可加性:若有限個事件A1,A2,…An互不相容,則有

    由有限可加性,就可以得到以下求對立事件概率的公式.:
    對任一事件A,有P(A(_))=1-P(A)

    2概率的單調性
    當B被A包含時(即B發生必然導致A發生),說明事件A比事件B更容易發生,那么B的概率不應該比A的概率大.
    推論(單調性)若A⊃B,則P(A)≥P(B).
    注:由P(A)≥P(B)無法推出A⊃B.
    小結論:對任意兩個事件A,B,有P(A-B)=P(A)-P(AB).

    3概率的加法公式
    (1)性質(加法公式)對任意兩個事件A,B,有
    P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
    對任意n個事件A1,A2,…,An,有

    (2)推論(半可加性)對任意兩個事件A,B,有
    P(A∪B)≤P(A)+P(B)
    對任意n個事件A1,A2,…An,有

    一般而言,求“至少有一個發生”的概率時,用對立事件公式去求較為方便,但有些配對問題卻不能用對立事件去求解,而一定要將事件“至少有一個發生”表示成事件的并,然后用一般事件的加法公式去求解.

    4概率的連續性
    為了討論概率的連續性,先對事件序列的極限給出如下的定義.
    (1)事件序列的極限定義
    ①對F中任一單調不減的事件序列F1⊂F2⊂…⊂Fn⊂…稱可列并為{Fn}的極限事件,記為

    ②對E中任一單調不增的事件序列E1⊃E2⊃…⊃En⊃…,稱可列交為{En}的極限事件,記為

    (2)概率函數連續性的定義和性質
    ①定義
    對F上的一個概率P,若它對F中任一單調不減的事件序列{Fn}均成立

    則稱概率P是下連續的.若它對E中任一單調不增的事件序列{En}均成立

    則稱概率P是上連續的.
    ②性質
    a.若P為事件域F上的概率,則P既是下連續的,又是上連續的.
    b.若P是F上滿足P(Ω)=1的非負集合函數,則它具有可列可加性的充要條件是:第一,它是有限可加的;第二,它是下連續的.
    四、條件概率
    1條件概率的定義
    它是指在某事件B發生的條件下,求另一事件A的概率,記為P(A|B),它與P(A)是不同的兩類概率.
    (1)定義:設A與B是樣本空間Ω中的兩事件,若P(B)>0,則稱P(A|B)=P(AB)/P(B)為“在B發生下A的條件概率”,簡稱條件概率.
    (2)條件概率是概率,即若設P(B)>0,則
    ①P(A|B)≥0,A∈F;
    ②P(Ω|B)=1;
    ③若F中的A1,A2,…,An互不相容,則


    2三個非常實用的公式
    (1)乘法公式
    ①若P(B)>0,則P(AB)=P(A|B);
    ②若P(A1A2…An1)>0,則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1…An1
    (2)全概率公式
    設B1,B2,…Bn為樣本空間的一個分割,即B1,B2,…Bn互不相容,且

    如果P(Bi)>0,i=1,2,…,n,則對任一事件A有

    注意:
    ①全概率公式的最簡單形式
    若0<P(B)<1,則P(A)=P(B)P(A|B)+P(B(_))P(A|B(_)).
    ②條件B1,B2,…Bn為樣本空間的一個分割,可改成B1,B2,…Bn互不相容,且

    (3)貝葉斯公式
    設B1,B2,…Bn是樣本空間Ω的一個分割,即B1,B2,…Bn互不相容,且

    如果P(A)>0,P(Bi)>0,i=1,2,…n,則

    五、獨立性
    獨立性是概率論中又一個重要概念.

    1兩個事件的獨立性
    兩個事件之間的獨立性是指:一個事件的發生不影響另一個事件的發生.
    (1)(相互獨立)定義:如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與B相互獨立,簡稱A與B獨立.否則稱A與B不獨立或相依.
    (2)性質:若事件A與B獨立,則A與B(_)獨立,A(_)與B獨立,A(_)B(_)獨立.

    2多個事件的相互獨立性
    (1)三個事件的獨立性
    定義:設A,B,C是三個事件,如果有

    則稱A,B,C兩兩獨立.若還有P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱A,B,C相互獨立.
    (2)n個事件的獨立性
    定義:設有n個事件A1,A2,…An,對任意的1≤i<j<k<…≤n,如果以下等式均成立

    則稱此n個事件A1,A2,…An相互獨立.
    注意:
    ①若A,B,C三事件相互獨立,則A∪B與C相互獨立,AB與C獨立,A-B與C獨立.
    ②若A,B,C間只有兩兩獨立,則不能證明A∪B與C獨立,也不能證明AB與C獨立,A-B與C獨立.

    3試驗的獨立性
    (1)兩個實驗的獨立性
    設有兩個試驗E1和E2,假如試驗E1的任一結果(事件)與試驗E2的任一結果(事件)都是相互獨立的事件,則稱這兩個試驗相互獨立.
    (2)n個實驗的獨立性
    如果E1的任一結果、E2的任一結果……En的任一結果都是相互獨立的事件,則稱試驗E1,E2,…,En相互獨立.如果這n個獨立試驗還是相同的,則稱其為n重獨立重復試驗.
    如果在n重獨立重復試驗中,每次試驗的可能結果為兩個:A或A(_),則稱這種試驗為n重伯努利試驗.

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    • 華中科技大學軟件學院887數據結構與算法分析歷年考研真題匯編
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    • 2019年保險學考研真題(含復試)與典型題詳解
      目錄封面內容簡介目錄第一章 風險與風險管理第二章 保險的性質與功能第三章 保險合同第四章 保險的基本原則第五章 保險形態的分類第六章 財產保險第七章 人身保險第八章 再保險第九章 政策保險和社會保險第十章 責任保險與信用保證保險第十一章 保險經營第十二章 保險精算第十三章 保險基金及其運用第十四章  ...
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    • 中央財經大學保險學院435保險專業基礎[專業碩士]歷年考研真題匯編(含部分答案)
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    • 廈門大學金融系435保險專業基礎[專業碩士]歷年考研真題匯編(含部分答案)
      目錄封面內容簡介目錄2013年廈門大學金融系435保險專業基礎[專業碩士]考研真題2014年廈門大學金融系435保險專業基礎[專業碩士]考研真題2015年廈門大學金融系435保險專業基礎[專業碩士]考研真題2016年廈門大學金融系435保險專業基礎[專業碩士]考研真題(回憶版,不完整)2017年廈門 ...
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    • 湖南大學金融與統計學院435保險專業基礎[專業碩士]歷年考研真題匯編
      目錄封面內容簡介目錄2011年湖南大學金融與統計學院435保險專業基礎[專業碩士]考研真題2012年湖南大學金融與統計學院435保險專業基礎[專業碩士]考研真題2013年湖南大學金融與統計學院435保險專業基礎[專業碩士]考研真題2017年湖南大學金融與統計學院435保險專業基礎[專業碩士]考研真題 ...
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    • 對外經濟貿易大學保險學院435保險專業基礎[專業碩士]歷年考研真題匯編(含部分答案)
      目錄封面內容簡介目錄2011年對外經濟貿易大學保險學院435保險專業基礎[專業碩士]考研真題2011年對外經濟貿易大學保險學院435保險專業基礎[專業碩士]考研真題及詳解2012年對外經濟貿易大學保險學院435保險專業基礎[專業碩士]考研真題2012年對外經濟貿易大學保險學院435保險專業基礎[專業 ...
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